Matriks

             Di dalam kenyataan yang ada, terkadang masih banyak manusia khususnya para peserta didik yang belum mengetahui manfaat dari berbagai ilmu pengetahuan  yang mereka pelajari di sekolah khususnya tentang matematika. Pada umumnya, para peserta didik masih bertanya-tanya untuk apa mereka belajar dan manfaat yang mereka dapatkan ketika mempelajari materi matematika seperti aljabar, trigonometri, matrik, barisan, deret. Sehingga itulah yang terkadang membuat peserta didik merasa tidak begitu semangat, tidak begitu greget bahkan bosan ataupun takut ketika mempelajari itu. Namun sebenarnya banyak sekali manfaat yang sudah mereka dapatkan ketika mempelajari materi matematika tersebut. Hanya saja sebagian besar dari mereka tidak menyadari itu. Seperti contoh materi yang akan dibahas dalam makalah ini mengenai matrik. Dalam kehidupan sehari-hari, matriks dapat digunakan antara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, transformasi geometri, program komputer dan jadwal siaran televisi.

     Dalam sejarahnya, matriks pertama kali diciptakan oleh Arthur Cayley (1821-1895), seorang profesor Sadleirian Matematik Murni di Cambridge. Banyak karya yang sudah dihasilkan oleh beliau yaitu 900 makalah dan nota yang hampir meliputi hampir setiap aspek dari matematik modern. Namun dari karya-karya beliau tersebut, ada beberapa karya yang paling penting yaitu dalam pembangunan aljabar matriks, bekerja di non-euclidean geometry dan geometri n-dimensi. Kemudian matriks pertama kali dikenalkan dan digunakan oleh James J. Slyvester (1850) untuk menunjukkan susunan bilangan-bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang. Namun jauh sebelum itu, kira-kira 250 tahun SM, ahli matematika cina menggunakan metode matriks untuk memecahkan sistem persamaan linier simultan.

Pada zaman dahulu matriks berawal dari penyusunan batu-batuan yang dilakukan oleh para orang zaman dahulu. Penyususunan batu-batu yang tanpa disadari akhirnya membentuk pola. Pengertian matriks berbeda-beda sesuai dengan ruang dan waktu yang ada. Sesuai dengan wadah dan isi yang ada. Matriks yang ada di dalam fikiran adalah mengenai ide-ide yang saling berkaitan di dalam menuju suatu tujuan bersama Maksudnya adalah ide-ide yang saling berkaitan, saling melengkapi dan saling membangun untuk tujuan yang ingin dicapai. Sedangkan matriks di luar berkaitan dengan peristiwa-peristiwa atau pengalaman yang saling terhubung sepoerti halnya membentuk pola-pola yang ada di dalam matriks. peristiwa atau pengalaman yang dapat menjadi pelajaran atau pengalaman untuk menjalani hidup.

            Sedangkan matriks dalam matematika merupakan kumpulan bilangan, simbol atau ekspresi berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom atau lajur. Matriks bukan merupakan susunan angka-angka yang bukan bertujuan untuk memberikan jumlah nilai bagi sekumpulan angka tersebut. Baris adalah anggota yang ditulis mendatar, sedangkan kolom atau lajur adalah anggota yang ditulis menurun. Semua anggotanya terletak di dalam suatu tanda kurung.Penulisan nama matriks bisanya menggunakan huruf Kapital. Contoh penulisan matriks adalah sebagai berikut :

Matriks A tersebut mempunyai 2 baris dan 3 lajur sehingga sehingga ordo matriks A adalah 2 x 3. Jadi suatu matriks yang mempunyai baris sebanyak m dan mempunyai kolom/lajur sebanyak n,  maka ordo matriksnya ditulis dengan m x n. Matriks pun bermacam-macam jenisnya. Setiap matriks memiliki ciri-ciri sendiri. Adapun matriks-matriks tersebut, diantaranya sebagai berikut :

1)      Matriks Kolom/Lajur

Yaitu matriks yang hanya mempunyai 1 kolom/ lajur. Biasanya mempunyai ordo m x 1.

Contoh :

2)      Matriks Baris

Yaitu matriks yang hanya mempunyai 1 baris. Biasanya mempunya ordo 1 x n.

Contoh :

3)      Matriks Persegi

Yaitu matriks yang mempunyai banyak baris dan banyak kolom/lajur yang sama.

Biasanya mempunyai ordo m x m. Contoh :

4)      Matriks Segitiga

Yaitu suatu matriks persegi dengan semua unsur yang berada di bawah atau di atas diagonal utama adalah nol. Contoh :

5)      Matriks Nol

Yaitu suatu matriks yang semua anggotanya merupakan angka nol. Contoh:

6)      Matriks Diagonal

Yaitu matriks persegi yang semua anggotanya sama dengan nol, kecuali anggota pada diagonal utamanya. Contoh :

7)      Matriks Skalar

Yaitu suatu matriks dimana anggota a₁₁ = a₂₂ = a₃₃ (diagonal utama) bernilai k dan sama, dimana k merupakan sutau bilangan bukan nol dan satu. Contoh :

8)      Matriks Identitas

Yaitu matriks persegi dengan anggota pada diagonal utama adalah satu, dan yang lainnya adalah nol. Contoh :

9)      Matriks Transpos

Yaitu suatu matriks yang dibentuk dengan menulis baris pertama suatu matriks sebagai kolom/lajur pertama bagi matriks baru (matriks transpos), baris kedua sebagai kolom/lajur kedua dan seterusnya. Begitu juga sebaliknya kolom. lajur pertama pada matriks tersebut ditulis pada baris pertama matriks (matriks transpose) dan seterusnya.

Contoh :

10)  Matriks Simetri

Yaitu suatu matriks yang bernilai atau bentuknya sama dengan matriks transposnya.

Contoh :

Syarat dua buah matriks dikatakan sama adalah :

1)      Mempunyai ordo sama

2)      Anggota-anggota yang bersesuaian juga sama.

Titik

Titik merupakan hal yang paling mendasar di dalam suatu bentuk. Ada berbagai macam definisi dari titik tergantung ruang dan waktu yang ada, tergantung wadah dan isi dimana kita membicarakan titik tersebut. Diantaranya yaitu :

1.   Titik adalah objek 0-dimensi artinya menggambarkan objek yang spesifik di dalam ruang yang diberikan, yang tidak melibatkan volume, luas, panjang, atau analog-analog lainnya pada dimensi yang lebih tinggi
2. Titik adalah tanda baca yang digunakan untuk menandai akhir dari sebuah kalimat dalam berbagai bahasa.
3. Tanda titik digunakan untuk singkatan. 
4.  Tanda titik dgunakan sebagai representasi desimal (Amerika Serikat, Britania Raya dan negara lain yang menuturkan bahasa inggris)
5. Dalam dunia komputer, tanda titik sering digunakan sebagai delimiter yang biasa disebut dot.
6. Dalam bahasa pemrogaman sebagai bagian penting dari sintaksis.

            Tanda titik baru muncul setelah 40 tahun umat Islam membaca Al-Qur’an tanpa tanda titik. Proses pembuatan tanda baca dalam Al-Qur’an mempunyai tiga fase. Pemberian titik dan baris pada mushaf Al Qur’an juga dilakukan dalam tiga fase, yaitu :

1)      Pada zaman Khalifah Muawiyah bin Abi Sufyan.

Saat itu, Muawiyah menugaskan Abdul Aswad Ad-dawly untuk meletakkan tanda baca (i'rab) pada tiap kalimat dalam bentuk titik untuk menghindari kesalahan membaca.

2)      Pada masa Abdul Malik bin Marwan (65 H), khalifah kelima Dinasti Umayyah itu menugaskan salah seorang gubernur pada masa itu, Al Hajjaj bin Yusuf, untuk memberikan titik sebagai pembeda antara satu huruf dengan lainnya. Misalnya, huruf baa' dengan satu titik di bawah, huruf ta dengan dua titik di atas, dan tsa dengan tiga titik di atas. Pada masa itu, Al Hajjaj minta bantuan kepada Nashr bin 'Ashim dan Hay bin Ya'mar.Pada masa Khalifah Abdul Malik bin Marwan ini, wilayah kekuasaan Islam telah semakin luas hingga sampai ke Eropa. Karena kekhawatiran adanya bacaan Alquran bagi umat Islam yang bukan berbahasa Arab, diperintahkanlah untuk menuliskan Alquran dengan tambahan tanda baca tersebut. Tujuannya agar adanya keseragaman bacaan Alquran baik bagi umat Islam yang keturunan Arab ataupun non-Arab ('ajami).

3)      Fase ketiga pada masa pemerintahan Dinasti Abbasiyah, diberikan tanda baris berupa dhamah, fathah, kasrah, dan sukun untuk memperindah dan memudahkan umat Islam dalam membaca Alquran. Pemberian tanda baris ini mengikuti cara pemberian baris yang telah dilakukan oleh Khalil bin Ahmad Al Farahidy, seorang ensiklopedi bahasa Arab terkemuka kala itu. Menurut sebuah riwayat, Khalil bin Ahmad juga yang memberikan tanda hamzah, tasydid, dan ismam pada kalimat-kalimat yang ada.
Kemudian, pada masa Khalifah Al-Makmun, para ulama selanjutnya berijtihad untuk semakin mempermudah orang untuk membaca dan menghafal Alquran, khususnya bagi orang selain Arab, dengan menciptakan tanda-tanda baca tajwid yang berupa isymam, rum, dan mad.Sebagaimana mereka juga membuat tanda lingkaran bulat sebagai pemisah ayat dan mencantumkan nomor ayat, tanda-tanda wakaf (berhenti membaca), ibtida (memulai membaca), menerangkan identitas surah di awal setiap surah yang terdiri atas nama, tempat turun, jumlah ayat, dan jumlah 'ain.

Matriks dalam Dunia Matematika

            Di dalam kenyataan yang ada, terkadang masih banyak manusia khususnya para peserta didik yang belum mengetahui manfaat dari berbagai ilmu pengetahuan  yang mereka pelajari di sekolah khususnya tentang matematika. Pada umumnya, para peserta didik masih bertanya-tanya untuk apa mereka belajar dan manfaat yang mereka dapatkan ketika mempelajari materi matematika seperti aljabar, trigonometri, matrik, barisan, deret. Sehingga itulah yang terkadang membuat peserta didik merasa tidak begitu semangat, tidak begitu greget bahkan bosan ataupun takut ketika mempelajari itu. Namun sebenarnya banyak sekali manfaat yang sudah mereka dapatkan ketika mempelajari materi matematika tersebut. Hanya saja sebagian besar dari mereka tidak menyadari itu. Seperti contoh materi yang akan dibahas dalam makalah ini mengenai matrik. Dalam kehidupan sehari-hari, matriks dapat digunakan antara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, transformasi geometri, program komputer dan jadwal siaran televisi.

     Dalam sejarahnya, matriks pertama kali diciptakan oleh Arthur Cayley (1821-1895), seorang profesor Sadleirian Matematik Murni di Cambridge. Banyak karya yang sudah dihasilkan oleh beliau yaitu 900 makalah dan nota yang hampir meliputi hampir setiap aspek dari matematik modern. Namun dari karya-karya beliau tersebut, ada beberapa karya yang paling penting yaitu dalam pembangunan aljabar matriks, bekerja di non-euclidean geometry dan geometri n-dimensi. Kemudian matriks pertama kali dikenalkan dan digunakan oleh James J. Slyvester (1850) untuk menunjukkan susunan bilangan-bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang. Namun jauh sebelum itu, kira-kira 250 tahun SM, ahli matematika cina menggunakan metode matriks untuk memecahkan sistem persamaan linier simultan.

            Matriks dalam matematika merupakan kumpulan bilangan, simbol atau ekspresi berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom atau lajur. Matriks bukan merupakan susunan angka-angka yang bukan bertujuan untuk memberikan jumlah nilai bagi sekumpulan angka tersebut. Baris adalah anggota yang ditulis mendatar, sedangkan kolom atau lajur adalah anggota yang ditulis menurun. Semua anggotanya terletak di dalam suatu tanda kurung.Penulisan nama matriks bisanya menggunakan huruf Kapital. Contoh penulisan matriks adalah sebagai berikut :

Matriks A tersebut mempunyai 2 baris dan 3 lajur sehingga sehingga ordo matriks A adalah 2 x 3. Jadi suatu matriks yang mempunyai baris sebanyak m dan mempunyai kolom/lajur sebanyak n,  maka ordo matriksnya ditulis dengan m x n. Matriks pun bermacam-macam jenisnya. Setiap matriks memiliki ciri-ciri sendiri. Adapun matriks-matriks tersebut, diantaranya sebagai berikut :

1)      Matriks Kolom/Lajur

Yaitu matriks yang hanya mempunyai 1 kolom/ lajur. Biasanya mempunyai ordo m x 1.

Contoh :

2)      Matriks Baris

Yaitu matriks yang hanya mempunyai 1 baris. Biasanya mempunya ordo 1 x n.

Contoh :

3)      Matriks Persegi

Yaitu matriks yang mempunyai banyak baris dan banyak kolom/lajur yang sama.

Biasanya mempunyai ordo m x m. Contoh :

4)      Matriks Segitiga

Yaitu suatu matriks persegi dengan semua unsur yang berada di bawah atau di atas diagonal utama adalah nol. Contoh :

5)      Matriks Nol

Yaitu suatu matriks yang semua anggotanya merupakan angka nol. Contoh :

6)      Matriks Diagonal

Yaitu matriks persegi yang semua anggotanya sama dengan nol, kecuali anggota pada diagonal utamanya. Contoh :

7)      Matriks Skalar

Yaitu suatu matriks dimana anggota a₁₁ = a₂₂ = a₃₃ (diagonal utama) bernilai k dan sama, dimana k merupakan sutau bilangan bukan nol dan satu. Contoh : 

8)      Matriks Identitas

Yaitu matriks persegi dengan anggota pada diagonal utama adalah satu, dan yang lainnya adalah nol. Contoh :

9)      Matriks Transpos

Yaitu suatu matriks yang dibentuk dengan menulis baris pertama suatu matriks sebagai kolom/lajur pertama bagi matriks baru (matriks transpos), baris kedua sebagai kolom/lajur kedua dan seterusnya. Begitu juga sebaliknya kolom. lajur pertama pada matriks tersebut ditulis pada baris pertama matriks (matriks transpose) dan seterusnya.

Contoh :

10)  Matriks Simetri

Yaitu suatu matriks yang bernilai atau bentuknya sama dengan matriks transposnya.

Contoh :

Syarat dua buah matriks dikatakan sama adalah :

1)      Mempunyai ordo sama

2)      Anggota-anggota yang bersesuaian juga sama.